Асимптотический анализ

Представь, что ты хочешь устроить гонку между двумя улитками по длинному пути. Мы знаем, что улитки не могут двигаться очень быстро, но нас интересует, как быстро они могут ползти, когда устают менее всего — это и есть асимптотический анализ, только для скорости. Так в математике, когда мы говорим об асимптотическом анализе, мы хотим понять, как быстро что-то может работать (или как оно себя ведет), когда условия становятся очень-очень сложными или когда количество чего-то очень велико.

Например, если у улитки всё больше и больше еды по пути, ей будет тяжелее двигаться быстро. Может быть, на первых нескольких метрах она была быстрой, но что произойдет, если еда появляется все время и не заканчивается? Асимптотический анализ помогает нам понять, как улитка будет ползти на таком ‘бесконечно’ длинном пути с бесконечным количеством еды.

В компьютерных науках, мы используем асимптотический анализ, чтобы оценить, как быстро может работать программа или алгоритм, когда у нас есть очень много данных для обработки. Это помогает нам понять, как алгоритмы справятся, когда задачи становятся очень, очень большими, как будто улитка ползёт по бесконечно длинному пути с бесконечным количеством еды.

Что такое “О”(Большое О)

“Большое О” - это просто способ сказать, насколько быстро что-то увеличивается, когда мы делаем что-то много раз. В случае алгоритмов, это говорит нам о том, насколько быстро может увеличиваться время, необходимое для выполнения алгоритма, когда количество вещей, с которыми он работает (например, числа или слова), растёт.

Пример № 1

Представь, ты идешь в магазин за конфетами. Если у тебя есть список из 10 конфет, которые ты хочешь купить, ты можешь составить план. Этот план — это как правило или формула, по которой ты будешь выбирать конфеты. Если ты планируешь потратить на выбор каждой конфеты 1 минуту, то за 10 конфет ты потратишь 10 минут. Если у тебя в списке будет 20 конфет, то на все уйдет 20 минут.

“Большое О” — это способ сказать, сколько в худшем случае времени тебе понадобится, чтобы выполнить задачу (в нашем примере — купить все конфеты из списка). Например, если мы скажем “О(количество конфет)”, то это означает, что время, которое у тебя уйдет на покупку, будет расти прямо пропорционально количеству конфет в списке.

Таким образом, “Большое О”, помогает нам понять, как изменится время выполнения задачи (или, например, сборки пазла, строительства башни из кубиков и так далее), если условия задачи (или количество частей пазла, или кубиков) увеличиваются. Это важно для поиска самых быстрых способов делать что-то, особенно когда у тебя есть очень большая задача.

Пример № 2

Представь, что ты организовал лимонадный киоск, и каждый раз, когда кто-то приходит к тебе за лимонадом, тебе нужно его приготовить. Теперь, если у тебя один покупатель, ты делаешь один стакан лимонада. Если у тебя десять покупателей, ты делаешь десять стаканов лимонада. Время, которое ты тратишь на приготовление лимонада, растёт с каждым новым покупателем. Если на один стакан ты тратишь одну минуту, то на десять стаканов у тебя уйдёт уже десять минут.

“Большое О” в этом случае помогает тебе описать, как изменится количество времени, необходимое тебе для приготовления лимонада, если количество покупателей увеличится. Так, если мы скажем “О(количество покупателей)”, это будет значить, что чем больше покупателей, тем больше времени уйдет на приготовление лимонада.

Таким образом, “Большое О” как бы говорит: “В худшем случае, если придет очень много покупателей, вот сколько времени у тебя займет работа”. Это помогает планировать, порой, сложные задачи и быть готовым к большому наплыву желающих насладиться твоим вкусным лимонадом!

Пример № 3

Давай представим ситуацию с “Большим О” на примере уборки игрушек в комнате. Например, у тебя в комнате разбросаны кубики. Если ты будешь убирать их по одному, общее количество времени, которое ты потратишь на уборку, будет зависеть напрямую от количества кубиков. То есть если кубиков было 10 и ты убрал их за 10 минут, то для 20 кубиков потребуется уже 20 минут, и так далее. Это и есть “линейное время” — в “Большом О” оно обозначается как O(n), где “n” — это количество кубиков.

А теперь представь, что для уборки ты придумал игру: каждый раз ты убираешь в два раза больше кубиков, чем в прошлый раз. Первый раз ты подобрал один кубик, в следующий раз — уже два, потом четыре и так далее. В этом случае, количество убраных кубиков растет очень быстро — это как “экспоненциальный рост” в “Большом О”, который обозначается как O(2^n).

Таким образом, “Большое О” помогает понять, как будет меняться время, необходимое для выполнения работы, в зависимости от того, как меняется количество предметов этой работы или размер задачи. Это важно для понимания того, насколько эффективно можно выполнять большие задания, например, когда компьютеру нужно обрабатывать огромное количество информации.

Что такое “Ω”(Большое Омега)

Пример № 1

Допустим, большая Омега это как минимальное количество шагов, которое тебе нужно сделать, чтобы добраться до дома твоего друга. Например, если ты живёшь в одном конце улицы, а твой друг — в другом, и между вашими домами 10 домов, то даже если ты побежишь, прыгнешь на скейтборд или поедешь на велосипеде, тебе всё равно придётся преодолеть расстояние мимо этих 10 домов. Так что минимальное время, которое у тебя уйдёт на дорогу — это время, за которое ты можешь пройти мимо всех этих 10 домов. Даже если ты станешь быстрее, меньше этого времени у тебя уйти не может.

Так вот, большая Омега (Ω) в алгоритмах описывает это “нельзя меньше”. Она говорит нам о том, что алгоритм, как минимум, потребует определённого количества шагов или времени для решения задачи, не зависимо от того, насколько всё остальное идеально. Это помогает понять, не слишком ли затратно будет выполнять задачу, даже в самых лучших условиях.

Пример № 2

Давай представим, что ты строишь башню из карточек. Независимо от того, насколько ты искусен, есть определенное количество карточек, которое нужно для создания основания башни, чтобы она не упала. Допустим, ты знаешь, что для стабильности основания всегда нужно не менее трех карточек.

Вот большая Омега (Ω) подобна этому минимальному количеству карточек. Она говорит о том, что, как минимум, тебе понадобится три карточки, чтобы сделать основание башни. Даже если ты будешь использовать какие-то умные методы или твои руки будут очень стабильными, тебе всё равно не обойтись меньшим количеством карточек для надёжного основания. Так же, как и в алгоритмах, (\Omega) это то, что говорит о минимальных гарантированных “затратах”, которые ты должен вложить, чтобы получить результат. Это как правило, которое гарантирует, что даже в самой идеальной ситуации у тебя уйдёт какое-то время или ресурсы на решение задачи.

Что такое “θ”(Большое Тета)

Пример № 1

Представим, что “Большое Тета” – это как время, которое тебе нужно, чтобы собрать ведро ракушек на пляже. Если по пути от одного конца пляжа до другого ракушки лежат примерно одинаково густо, и ты всегда тратишь примерно одинаковое количество времени, чтобы дойти до следующей ракушки и собрать её, тогда это время сбора можно описать как “Большое Тета”. Оно показывает, что в среднем каждая ракушка требует одного и того же количества времени, не слишком быстро и не слишком медленно.

То есть “Большое Тета” говорит нам о том, что если ты соберешь одно ведро среднего размера с ракушками, то примерно можешь ожидать, что второе ведро такого же размера ты соберешь за похожее время, если условия останутся теми же. Это похоже на то, как если бы ты каждый раз собирал одинаковое количество кубиков Lego, чтобы построить домик: если на каждый домик у тебя уходит по 20 кубиков, то зная, сколько времени тебе нужно, чтобы построить один домик, ты можешь предсказать, сколько времени займёт строительство любого их числа.

Пример № 2

“Большое Тета” в алгоритмах, похоже на определение работы, которую вы делаете заданное количество раз, но в отличие от “Большого О”, которое говорит нам о максимальном времени, “Большое Тета” говорит о времени, которое требуется в среднем. Это как если бы ты и твой друг собирались собрать одинаковые пазлы. Если тебе нужно 10 минут, чтобы найти одну подходящую деталь, и твоему другу тоже 10 минут, то “Большое Тета” будет говорить, что в среднем на каждую деталь уходит 10 минут. Но если ты, например, займешься подбором деталей не одинаково быстро, то “Большое Тета” скажет о средней скорости твоей работы в целом, а не о самом медленном или самом быстром времени сборки.

O(1): Константная сложность

В анализе алгоритмов термин "O(1)" относится к константной сложности. Когда говорят о временной сложности алгоритма, обозначение O(1) означает, что время выполнения алгоритма не зависит от размера входных данных. Независимо от того, сколько элементов обрабатывает алгоритм, время выполнения остается постоянным.

Это достигается за счет того, что количество операций, которые выполняет алгоритм, остается постоянным. Примером алгоритма с константной сложностью может быть доступ к элементу массива по индексу. Независимо от размера массива, время доступа к конкретному элементу будет всегда одинаковым.

Это важное свойство для определенных задач, особенно в случаях, когда предсказуемость времени выполнения критически важна. Однако стоит отметить, что не все операции могут быть выполнены с константной сложностью, и в реальных сценариях часто используются алгоритмы с различными временными сложностями в зависимости от задачи.

Пример № 1

Представь, что у тебя есть волшебная коробка с разными отделениями, и в каждом отделении лежит разноцветный мячик. Если ты хочешь достать красный мячик, ты просто открываешь постоянное отделение, где он всегда лежит, и берешь его. Неважно, сколько в коробке отделений, ты всегда сделаешь это за одно и то же время, потому что точно знаешь, где находится красный мячик.

Вот так работают алгоритмы с константной сложностью — не имеет значения, насколько велик список или коллекция данных, они позволяют получить доступ к любому элементу за одно и то же фиксированное количество шагов.

Пример № 2

Представим, что у тебя есть волшебная книга с бесконечным количеством страниц, и ты хочешь открыть страницу номер 5. В случае константной сложности, это будет так же быстро, как и открыть первую страницу книги. Неважно, какой номер у страницы - первый, пятый или даже миллионный, ты сможешь открыть её за одно и то же количество времени - мгновенно. Это и есть суть O(1): время, необходимое для выполнения действия, не зависит от размера набора данных (в нашем случае, от количества страниц в книге).

O(log n): Логарифмическая сложность

Алгоритмы с логарифмической сложностью обычно являются эффективными и быстрыми, особенно по сравнению с алгоритмами линейной сложности (O(n)), квадратичной сложности (O(n^2)), и т.д. Они часто используются в контексте бинарного поиска, сортировки и других задач, где размер данных может быть уменьшен вдвое на каждом шаге алгоритма.

Пример № 1

Представим, что ты играешь в игру, где нужно угадать число от 1 до 100, и я дам тебе подсказки, говоря “больше” или “меньше”. Начнём игру с числа 50. Если я скажу “меньше”, мы теперь знаем, что не нужно рассматривать числа от 50 до 100, и следующее предположение будет числом 25. Если я опять скажу “меньше”, следующее число, которое ты попробуешь угадать, будет половиной от 25, то есть примерно 12.

Вместо того, чтобы проверять каждое число, ты исключаешь большие группы чисел и уменьшаешь количество возможных вариантов очень быстро. Такой процесс, когда с каждым шагом мы отбрасываем половину оставшихся вариантов ответа, и есть пример работы алгоритма, время которого растет как логарифм от количества элементов (O(log n)).

O(n): Линейная сложность

Алгоритмы с линейной сложностью обычно требуют времени, пропорционального количеству элементов во входных данных. Примерами алгоритмов с линейной сложностью могут служить простой поиск в неотсортированном массиве или перебор элементов в массиве. Линейные алгоритмы часто считаются эффективными, но в некоторых случаях они могут быть улучшены алгоритмами с логарифмической (O(log n)) или константной (O(1)) сложностью, особенно при работе с большими объемами данных.

Пример № 1

Представь, что перед тобой стоит длинная линия яблок, и ты стоишь у начала этой линии. Твоя задача — найти одно специальное яблоко, которое отличается от других, например, у него есть наклейка. Чтобы его найти, тебе придется идти по линии и смотреть на каждое яблоко по очереди, пока не увидишь то самое яблоко с наклейкой.

Если специальное яблоко — первое в линии, ты находишь его очень быстро. Но если он будет последним в линии, тебе придется потратить гораздо больше времени, чтобы дойти до конца линии. В среднем, время, которое тебе нужно, чтобы найти яблоко, зависит от количества яблок в линии. Это и есть линейное время — время, необходимое для выполнения задачи, растет прямо пропорционально количеству элементов (в нашем случае — яблок).

Пример № 2

Представь, что у тебя есть жемчужное ожерелье, и ты ищешь одну уникальную жемчужину, которая светится голубым цветом. Чтобы её найти, тебе придётся просмотреть каждую жемчужину по порядку, с начала и до конца, пока не увидишь ту единственную, которая светится.

Линейная сложность (O(n)) в алгоритмах работает так же, как поиск этой уникальной жемчужины. Если у нас есть список из n жемчужин, и мы не знаем, где находится светящаяся, придётся пройти и осмотреть каждую, чтобы найти нужную. Если в ожерелье 5 жемчужин, возможно, тебе придется посмотреть 5 раз. Если 100 — то 100 раз. Время, которое потребуется, чтобы найти светящуюся жемчужину, прямо пропорционально количеству жемчужин в ожерелье. Так и в алгоритмах: количество операций возрастает линейно в зависимости от размера списка данных, с которыми мы работаем.

O(n log n): Линейно-логарифмическая сложность

Алгоритмы со сложностью O(n log n) относятся к классу линейно-логарифмических алгоритмов. Это означает, что время выполнения алгоритма увеличивается линейно с увеличением размера входных данных, но также включает в себя логарифмическое увеличение, что делает его более эффективным по сравнению с чисто квадратичными алгоритмами (O(n^2)), особенно на больших входных данных.

Пример № 1

Представим, что у тебя есть куча книг разной толщины, и ты хочешь расставить их на полке в порядке от самой тонкой до самой толстой. Ты делаешь это так:

Сначала ты разделяешь книги на меньшие кучки, которые легче сравнить. Например, ты можешь разделить их на кучки по десять книг и отсортировать каждую из них по толщине. Такой подход напоминает логарифмический этап, потому что ты упрощаешь задачу, разбивая большую проблему на серию меньших.

Далее, когда у тебя есть отсортированные кучки, ты начинаешь объединять их вместе, при этом ты все равно должен проверить каждую книгу, чтобы убедиться, что она идет в правильном порядке. В этом шаге каждая книга должна быть учтена — это линейная часть O(n).

Итак, сначала ты уменьшаешь сложность задачи, разделяя ее на более мелкие задачи, а потом тратишь время на то, чтобы проверить каждый элемент и сложить их обратно в одну отсортированную стопку. Сочетание этих двух этапов и делает время выполнения линейно-логарифмическим.

Пример № 2

Представим, что тебе надо собрать пазл. На каждом кусочке пазла нарисованы части картинки, и чтобы собрать цельную картину, тебе нужно правильно соединить все эти кусочки.

Если ты начнешь просто пробовать соединять кусочки наугад, это может занять очень много времени, особенно если пазл большой. Но что, если ты начнешь с того, что разложишь все кусочки изображением вверх и сгруппируешь их, например, по цветам или краям картинки? Это поможет тебе увидеть, какие кусочки, скорее всего, соединяются вместе. И потом, когда у тебя будут сгруппированные части, ты начнешь соединять их в большие блоки, от самых очевидных сочетаний до более сложных.

Линейно-логарифмическая сложность в алгоритмах (O(n log n)) работает по похожему принципу. Представь, что у тебя есть много данных (как много кусочков пазла), и тебе нужно их как-то организовать. Сначала ты их каким-то образом упорядочиваешь (это может быть сортировка, подобно группировке кусочков пазла), а затем выполняешь действия с этими упорядоченными данными. Это гораздо эффективнее, чем делать что-то с кусочками наугад, но всё равно требует больше времени, чем выполнение одной простой операции (как с лампой из предыдущей аналогии). Поэтому, такой подход будет быстрее, чем если бы ты проверял каждую возможную комбинацию по отдельности, но медленнее, чем если бы ты мог найти правильное решение с первой попытки.

O(n^2): Квадратичная сложность

В анализе алгоритмов термин "O(n^2)" относится к квадратичной сложности. Когда говорят о временной сложности алгоритма, обозначение O(n^2) означает, что время выполнения алгоритма пропорционально квадрату размера входных данных (n).

Алгоритмы с квадратичной сложностью могут становиться медленными при увеличении размера входных данных. Примером такого алгоритма может быть вложенный цикл, который выполняет операции для каждой пары элементов входного массива. Если размер массива увеличивается на 1 элемент, время выполнения алгоритма увеличится на n операций (где n - текущий размер массива). Таким образом, общее время выполнения будет пропорционально n * n = n^2.

Квадратичная сложность часто встречается в алгоритмах, использующих вложенные циклы для обработки элементов данных. Важно избегать таких алгоритмов, особенно при работе с большими объемами данных, поскольку они могут стать неэффективными. Разработка более эффективных алгоритмов с меньшей временной сложностью часто является задачей в области оптимизации программного кода.

Пример № 1

Представь, что ты стоишь перед полкой с игрушками, разложенными в ряд. Чтобы выбрать пару одинаковых машинок, тебе нужно сравнить каждую машинку с каждой другой на полке. Если на полке 10 машинок, тебе придётся провести сравнение первой машинки со всеми остальными, второй — с оставшимися после первой и так далее.

Итак, ты начинаешь с первой машинки и сравниваешь её со всеми девятью. Это 9 сравнений. Затем ты берёшь вторую машинку и сравниваешь её с восемью оставшимися (включая ту, что взял первой, она уже проверена), это ещё 8 сравнений, и так продолжаешь.

Для 10 машинок тебе понадобится 9+8+7+…+1 сравнений, и все они вместе дают 45 сравнений. Это число можно получить, умножив количество машинок (10) на количество машинок минус один (10 - 1) и разделив пополам (10 * 9 / 2 = 45). То есть 1010, подправленное немного вниз. А если бы машинок было 100, тебе бы понадобилось уже 100100, подправленное немного вниз.

Суть в том, что количество действий (сравнений), необходимых для решения задачи, растёт как квадрат числа элементов (машинок). Это и есть алгоритм со временем O(n^2), где n — это количество машинок. Проще говоря, чем больше машинок на полке, тем гораздо больше времени уйдёт на то, чтобы найти парные.

Пример № 2

Представим, что каждое яблоко в корзине имеет имя, и тебе нужно найти пару для каждого яблока с точно таким же именем в большой куче яблок. Ты берешь первое яблоко из корзины и начинаешь искать ему пару, перебирая каждое яблоко в куче до тех пор, пока не найдешь соответствующее. Допустим, в куче 10 яблок, и, может быть, тебе придется проверить все 10, чтобы найти такое же.

Затем ты берешь второе яблоко из корзины и снова перебираешь яблоки в куче. Ты повторяешь это действие для каждого яблока из корзины. Если в корзине тоже 10 яблок, тебе придется провести 10 проверок для каждого из 10 яблок, что в сумме даст 100 проверок.

Это и есть квадратичная сложность (O(n^2)). Время, которое ты потратишь на сопоставление каждого яблока с кучей, увеличивается пропорционально квадрату количества яблок в корзине. Так что, если в корзине не 10, а 20 яблок, тебе уже придется сделать 400 проверок (20×20). По мере того как количество яблок в корзине увеличивается, количество необходимых проверок растет очень быстро.

O(n^3): Кубическая сложность

В анализе алгоритмов термин "O(n^3)" означает кубическую сложность. Это означает, что время выполнения алгоритма (или количество операций) растет пропорционально кубу размера входных данных (n).

Формула "O(n^3)" обозначает, что алгоритм выполняет примерно n^3 операций, где n - размер входных данных. Такие алгоритмы часто имеют вложенные циклы, каждый из которых выполняется n раз.

Например, если у вас есть трехмерный массив размером n x n x n, и вы выполняете операции для каждого элемента массива вложенными циклами, тогда количество операций будет пропорционально n^3.

Алгоритмы с кубической сложностью могут быть неэффективными для больших объемов данных, и обычно стараются избегать использования таких алгоритмов, если это возможно. Однако иногда они являются необходимыми в контексте конкретных задач.

Пример № 1

Представим, что ты на уроке в школе, и учитель предлагает тебе игру. У тебя есть карточки с числами, и задача — найти для каждой карточки пару, которая суммой даст определенное число, например 10.

Если карточек всего несколько, ты быстро просмотрел бы все и нашел бы пары. Это как задача с O(n) сложностью, когда время растет прямо пропорционально количеству карточек.

Теперь усложним задачу. На каждую карточку нужно найти не одну пару, а две разные карточки, так чтобы сумма всех трех давала искомое число, скажем 10. Здесь уже придется проверять больше комбинаций: каждую карточку с парой других. Если карточек много, ты быстро увидишь, что это занимает гораздо больше времени — это похоже на O(n^2) сложность.

Теперь представь, что задача еще сложнее: нужно выбрать не три, а четыре карточки, которые в сумме дадут 10. То есть, для каждой карточки тебе нужно просмотреть все возможные тройки из оставшихся, чтобы найти подходящую комбинацию. Это действительно займет много времени и усилий. Такое расширение задачи уже похоже на O(n^3) сложность: для каждой карточки из ‘n’ нужно проверить много комбинаций, и чем больше карточек, тем задача становится сложнее в кубическое количество раз.

И вот ты сидишь и осознаешь: если карточек будет, скажем, 100, то проверить все комбинации для каждой карточки станет невообразимо долгим процессом. Так и в компьютерных алгоритмах: когда задача имеет кубическую сложность O(n^3), увеличение количества элементов ведет к очень быстрому росту времени, необходимого для ее решения.

Пример № 2

Представим, есть конструктор или набор кубиков. Скажем, чтобы построить кубик, нужно использовать только один кубик — это будет работа за O(1), или постоянное время, потому что независимо от количества кубиков, собрать кубик из одного кубика всегда займет одинаковое время.

Теперь допустим, что ты хочешь построить ряд из кубиков. Если в ряду 3 кубика и ты затрачивает одну минуту на каждый, то на весь ряд уйдет 3 минуты. Если в ряду 4 кубика, то уже 4 минуты, и так далее. Это будет линейная зависимость времени от количества кубиков, то есть O(n).

Теперь перейдем к более сложному примеру. Предположим, что ты хочешь построить квадратную площадку из кубиков. Если на каждый слой площадки нужно 4 кубика (2 на 2), и все слои делаются за одинаковое время, то чтобы сделать площадку из 2 слоев, понадобится уложить 8 кубиков (делается за 2 единицы времени, если на один слой уходит 1 единицу времени). Если слоев 3, то уже 12 кубиков и 3 единицы времени. Это квадратичная зависимость, или O(n^2), где n — это количество слоев.

И наконец, кубическая сложность O(n^3). Скажем у нас теперь задача построить куб из кубиков. Если ты строишь куб 2x2x2, ему нужно 8 кубиков. Если куб 3x3x3, то уже 27 кубиков, и это займет гораздо больше времени. В этом случае, если мы увеличиваем размер куба (n), время, необходимое для постройки, увеличивается в кубическое количество раз (n^3).

Представь, что у тебя есть огромный куб, и ты можешь строить его из своих маленьких кубиков. Если делать его в три раза больше, то тебе понадобится в 27 раз больше кубиков и времени. Вот это и есть кубическая сложность — когда ты увеличиваешь что-то в размере, тебе нужно во много раз больше времени и усилий, чтобы это сделать.

O(2^n): Экспоненциальная сложность

В алгоритмах сложность O(2^n) является экспоненциальной. Это означает, что время выполнения алгоритма увеличивается экспоненциально с увеличением размера входных данных.

В алгоритмах сложность O(2^n) обычно возникает в случаях, когда для каждого элемента входных данных необходимо принимать одно из двух решений (например, "включить" или "выключить", "взять" или "не взять"). Такие алгоритмы часто используются в задачах комбинаторики или задачах, связанных с поиском всех подмножеств множества.

Примером может быть задача о рюкзаке, решаемая полным перебором всех возможных комбинаций предметов. В таких случаях количество возможных комбинаций растет экспоненциально, что приводит к экспоненциальной сложности времени выполнения алгоритма.

Пример № 1

Для проведения аналогии с понятием алгоритмов и экспоненциальным временем исполнения O(2^n), представь себе следующую ситуацию. Пусть у нас есть волшебная книга сказок. Каждую ночь ты можешь читать одну сказку перед сном. Если в первую ночь ты читаешь одну сказку, то на следующую ночь число сказок удваивается. То есть во вторую ночь нужно прочитать уже две сказки, затем в третью — четыре и так далее.

Допустим, у тебя есть волшебная лампа, которая позволяет тебе оставаться бодрым и читать сказки без усталости. Но даже если ты читаешь очень быстро, количество сказок растёт так стремительно, что очень скоро ты поймёшь, что не сможешь уложиться читать их все за одну ночь, потому что каждый раз их количество удваивается, и это превращается в огромное число. Это как волна, которая с каждым разом становится всё выше и выше.

Теперь скажем, что эти сказки — это задачи, которые нужно решить. Каждая сказка — одна задача. Алгоритм, который работает за экспоненциальное время O(2^n), похож на эту ситуацию с чтением сказок. Он работает хорошо для малого количества задач, но как только задач становится чуть больше, время, необходимое для выполнения работы, возрастает очень быстро, как количество сказок, которые ты должен прочитать. Удваиваются не просто числа, а возможности, поэтому очень быстро достигается точка, когда справиться с задачей становится практически невозможно, как читать все больше и больше сказок каждую ночь.

Пример № 2

Представь, что у тебя есть огромная книга с миллионами страниц, и на каждой странице есть закрытый сундучок. Чтобы найти сокровище, тебе нужно проверить все эти сундучки, но есть одно условие: каждый раз, когда ты открываешь один сундучок, число сундучков удваивается. Если вначале ты думал, что сможешь проверить всего один сундучок, теперь их уже два. Проверил эти два - их становится четыре, и так далее. Таким образом, количество работы растёт очень быстро, и даже начав с одного маленького сундучка, очень скоро у тебя будет целая гора сундучков для проверки. Это как волшебное умножение задач, и это именно то, что называется экспоненциальной сложностью, когда задачи растут гораздо быстрее, чем ты можешь их решать.

O(n!): Факториальная сложность

В алгоритмах, время выполнения которых растет факториально от размера входных данных, говорят о факториальной сложности. Обозначается это как O(n!), где "n" - размер входных данных.

Факториал функции n обозначается n! и представляет собой произведение всех положительных целых чисел от 1 до n. Например, 5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120.

Оценка O(n!) обычно возникает в ситуациях, когда для каждой перестановки входных данных выполняется некоторая операция. Примером такого алгоритма может быть полный перебор всех перестановок элементов множества.

Например, рассмотрим задачу о коммивояжере, где нужно найти кратчайший путь, посещая каждый город ровно один раз. Для решения этой задачи алгоритм полного перебора будет иметь факториальную сложность, так как для каждой возможной перестановки городов нужно рассчитать общую длину маршрута.

Алгоритмы с факториальной сложностью обычно становятся неэффективными для больших входных данных из-за экспоненциального роста времени выполнения. В практике разработки алгоритмов стараются избегать таких сложностей или находить более эффективные решения для задачи.

Пример № 1

Представим, что у нас есть коробочки с кубиками, на каждом из которых написана буква. Наша задача — узнать, сколько различных комбинаций или слов мы можем составить, переставляя кубики.

Допустим, у нас есть 1 кубик. Сколько у нас получится разных слов? Правильно, всего одно — это слово из одной буквы.

А если кубиков 2? Уже получается больше комбинаций: например, “AB” и “BA”. Если все буквы разные, то у нас будет 2 возможные перестановки, или 2 факториал, что равно 2 * 1 = 2 слова.

Если кубиков будет 3 (назовём их “A”, “B” и “C”), то мы можем начать с “A” и переставить “B” и “C” всеми возможными способами, затем начать с “B” и сделать то же самое для “A” и “C” и так далее. С 3 кубиками мы получим уже 6 разных комбинаций (3 факториал), что равно 3 * 2 * 1 = 6.

Так, чем больше кубиков, тем сложнее становится задача. С каждым новым кубиком количество возможных комбинаций увеличивается очень быстро, потому что каждый новый кубик можно вставить в любое место в каждой из уже существующих комбинаций.

Факториальное время в алгоритмах — это когда количество шагов, которое нужно сделать, чтобы решить задачу, растет таким же образом, как и количество различных комбинаций с кубиками. Если у нас есть дело с большим количеством “кубиков” (или элементов, которые нужно упорядочить), то задача становится действительно огромной и занимает очень много времени, даже для компьютера.

Пример № 2

Факториальная сложность в алгоритмах – это способ описания того, насколько быстро увеличивается время работы какого-либо алгоритма с ростом размера входных данных. Такое название происходит от математической операции факториал, которая для числа N равна произведению всех положительных целых чисел от 1 до N.

Чтобы объяснить это понятие на простом примере, можно представить праздничный обед, где у каждого гостя есть свой стаканчик с напитком, и они делают тосты. Сначала каждый гость должен чокнуться стаканчиком со стаканчиком каждого другого гостя. Если гостей всего двое, им нужно будет сделать всего один тост. Если гостей трое, им уже понадобится три тоста. Но если гостей десять, количество возможных тостов увеличивается до 45! И чем больше гостей, тем больше тостов. Если представить, что вместо гостей у нас числа, и каждый тост это одна операция, которую должен совершить компьютер, то со значительным увеличением количества гостей (или чисел) время, необходимое для вычисления всех тостов (или операций), растет очень быстро – вплоть до неприемлемо высоких значений.

O(n!) говорит о том, что с каждым новым элементом входных данных количество операций растет так быстро, что уже при относительно небольшом размере входных данных алгоритм становится слишком медленным или даже неосуществимым на практике.